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  • 因子分析模型

    来源:默认管理员点击数:525发布时间:2012-12-10

      1 基本概念:在市场研究中,由于多种因素的影响,指标间往往具有较大的相关性。如:在香烟口味测试中,“刺激程度”与“劲头”之间、“口感”与“香气”之间存在线性相关关系,考核“刺激程度”对“总体满意度”的影响必须考虑来自“劲头”的间接作用;又如:在房地产市场研究中,楼盘评估指标体系“稳重的、守信用的、尊贵的、前卫的、…”之间相关性比较大,给分析带来一定的困难,需要进行指标的二次设计,既需要从中抽取出具有代表性、独立的指标。

      因子分析(Factor Analysis)是解决上述问题的有效方法之一,它通过对原始指标体系内部相关性、结构的研究,借助特定的统计技术,将原始指标转化为与之信息等价的、独立的新指标,既因子(Factors),通过对因子的研究,达到对事物本质认识的目的。

      2 基本原理

      设原始指标向量为X=(X1,X2,…,Xn),各变量的均数、标准差、标准化变量分别为 、Si、xi(i=1,2,…,n),相互间的关系为:

      以R表示相关系数矩阵,理论可以证明,存在正交标准化变量f=(f1,f2,…,fn)、正交矩阵L=(lij)n´n,使得

      将方程展开,表达式为:

      f1=b11x1+b12x2+b13x3+……+b1nxn

      f2=b21x1+b22x2+b23x3+……+b2nxn

      ……

      fn=bn1x1+bn2x2+bn3x3+……+bnnxn

      也可以写成:

      x1=b11f1+b21f2+b31f3+……+bn1fn

      x2=b12f1+b22f2+b32f3+……+bn2fn

      ……

      xn=b1nf1+b2nf2+b3nf3+……+bnnfn

      我们称f1、f2、…为第一公因子、第二公因子、…。li(i=1,2,…,n)表示相关矩阵R的特征根,等于相应公因子的方差(并且有l1³l2³…³ln),表示该公因子对数据的解释能力,常称之为该公因子的贡献(Contribution), li/n称之为该公因子的贡献率(Contributions rate)。实际工作中,常以累计贡献率决定选取公因子的多少,一般来说,累计贡献率达到85%即可。

      因子分析示例:

      一项针对消费者购房影响因素研究中,经过因子分析,提取了前2个公因子,分别为:

      f1=0.98地段+0.93楼宇质量+0.81价格+0.15小区环境+0.10社区文化-0.23周围环境

      f1=0.15地段+0.20楼宇质量+0.35价格+0.80小区环境+0.85社区文化+0.63周围环境

      从方程中我们可以归纳出:第1因子主要由“地段、质量、价格”决定,所以我们可以称之为“传统价值因子”;第2个因子主要由“小区环境、社区文化、周围环境”决定,均与环境密切相关,因此我们称之为“环境因子”,相应碎石图为:

      第一、二公因子定位图为:

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